Математика числа 613

Помимо своего огромного религиозного и культурного значения, число 613 обладает рядом примечательных математических свойств. Оно служит отличным примером арифметических взаимосвязей в теории чисел.

Свойство простого числа

Число 613 является простым числом. Это означает:

Оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и само себя (613).
В последовательности простых чисел 613 является 112-м простым числом (следует за 607 и предшествует 617).
Поскольку его можно представить в виде $6k + 1$ ($6 \times 102 + 1$), оно относится к классу простых чисел, обладающих определенной симметрией в модульной арифметике.

Представление в виде суммы квадратов

Примечательным свойством 613 является то, что его можно представить в виде суммы двух последовательных квадратов: $$17^2 + 18^2 = 289 + 324 = 613$$

Числа, представимые в виде $n^2 + (n+1)^2$, называются центрированными квадратными числами. 613 — это 18-е центрированное квадратное число. Геометрически это соответствует расположению точек на квадратной сетке слоями вокруг центральной точки.

Пифагорова тройка

Число 613 образует гипотенузу в простейшей пифагоровой тройке: $$35^2 + 612^2 = 613^2$$

Для проверки вычислим квадраты чисел:

$35^2 = 1225$
$612^2 = 374544$
$613^2 = 375769$

Равенство $1225 + 374544 = 375769$ доказывает применимость теоремы Пифагора для этого целочисленного прямоугольного треугольника.

Другие системы счисления

Двоичная: $1001100101_2$
Восьмеричная: $1145_8$
Шестнадцатеричная: $265_{16}$
Римская запись: DCXIII